ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 52502
УсловиеИз точки вне окружности проведены касательные и секущая, причём точки касания и точки пересечения секущей с окружностью являются вершинами некоторой трапеции. Найдите отношение оснований трапеции, если известно, что угол между касательными равен 60o.
ПодсказкаПусть S — данная точка, SBD — секущая, A и C — точки касания и AB || CD. Тогда треугольник SBC подобен треугольнику SCD, а треугольник SBA — треугольнику SAD.
РешениеПусть S — данная точка, SBD — секущая, SA и SC — касательные, AB || DC. Обозначим AB = x, CD = y. Из подобия треугольников SBC и SCD (по двум углам) следует, что = , а из подобия треугольников SBA и SAD — = . Поскольку CS = AS, то = , или AB . DC = xy = BC2. Отсюда находим, что BC = . Кроме того,
BCD = ADC = 60o.
Если P — проекция точки B на основание CD трапеции ABCD, то
PC = . В треугольнике BPC имеем:
PC = BC, или = , или + - 1 = 0.
Из этого уравнения находим, что
= .
Ответ.
Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|