Задача 52509

Темы:    [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Диаметр, основные свойства ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Отрезок KL является диаметром некоторой окружности. Через его концы K и L проведены две прямые, пересекающие окружность соответственно в точках P и Q, лежащих по одну сторону от прямой KL. Найдите радиус окружности, если PKL = 60^o и точка пересечения прямых KP и QL удалена от точек P и Q на расстояние 1.

Подсказка

Треугольник KML — равносторонний (M — точка пересечения прямых KP и LQ).

Решение

Пусть M — точка пересечения прямых KP и LQ. Точка M не может лежать на окружности. Если M расположена внутри круга, то KM ^. MP = LM ^. MQ. Поэтому KM = ML, что невозможно.

Если точка M расположена вне круга, то MP ^. MK = MQ ^. ML. Поэтому KM = ML. Тогда треугольник KML — равносторонний. Его высота KQ является медианой. Следовательно,

KL = ML = 2MQ = 2,

а искомый радиус равен 1.

Ответ

1.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	172