Информация о задаче

Задача 52664

Темы:	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
Темы:	[	Проекции оснований, сторон или вершин трапеции	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В равнобедренную трапецию с основаниями a и b вписана окружность. Найдите диагональ трапеции.

Подсказка

Диагональ данной трапеции — это гипотенуза прямоугольного треугольника, один катет которого — высота, проведённая из вершины верхнего основания, а второй — часть нижнего основания, равная средней линии трапеции. Высота трапеции равна диаметру вписанного круга.

Решение

Пусть окружность с центром O, вписанная в равнобедренную трапецию ABC, касается боковой стороны AB в точке M, а оснований BC и AD — в точках N и L соответственно.

Поскольку OM — высота прямоугольного треугольника AOB, опущенная из вершины прямого угла, то

OB = $\displaystyle \sqrt{MA\cdot MB}$ = $\displaystyle \sqrt{AL\cdot BN}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{a}{2}\cdot \frac{b}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{ab}}{2}}$ .

Опустим перпендикуляр BH на AD. Тогда

DH = $\displaystyle {\frac{BC+AD}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{a+b}{2}}$ , BH = 2OM = $\displaystyle \sqrt{ab}$ .

Из прямоугольного треугольника BHD находим, что

BD = $\displaystyle \sqrt{BH^{2}+DH^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{ab+\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \sqrt{a^{2} + 6ab + b^{2}}$ .

Поскольку OM — высота прямоугольного треугольника AOB, опущенная из вершины прямого угла, то

OB = $\displaystyle \sqrt{MA\cdot MB}$ = $\displaystyle \sqrt{AL\cdot BN}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{a}{2}\cdot \frac{b}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{ab}}{2}}$ .

Опустим перпендикуляр BH на AD. Тогда

DH = $\displaystyle {\frac{BC+AD}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{a+b}{2}}$ , BH = 2OM = $\displaystyle \sqrt{ab}$ .

Из прямоугольного треугольника BHD находим, что

BD = $\displaystyle \sqrt{BH^{2}+DH^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{ab+\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \sqrt{a^{2} + 6ab + b^{2}}$ .

Поскольку OM — высота прямоугольного треугольника AOB, опущенная из вершины прямого угла, то

OB = $\displaystyle \sqrt{MA\cdot MB}$ = $\displaystyle \sqrt{AL\cdot BN}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{a}{2}\cdot \frac{b}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{ab}}{2}}$ .

Опустим перпендикуляр BH на AD. Тогда

DH = $\displaystyle {\frac{BC+AD}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{a+b}{2}}$ , BH = 2OM = $\displaystyle \sqrt{ab}$ .

Из прямоугольного треугольника BHD находим, что

BD = $\displaystyle \sqrt{BH^{2}+DH^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{ab+\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \sqrt{a^{2} + 6ab + b^{2}}$ .

Ответ

${\frac{1}{2}}$ $\sqrt{a^{2} + 6ab + b^{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	329