Информация о задаче

Задача 52835

Темы:	[	Вспомогательная окружность	]
Темы:	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC на стороне BC взята точка M, причём BM = 2MC и $\angle$ AMB = 60^o. Зная, что $\angle$ BAC = 60^o, найдите углы B и C треугольника ABC.

Подсказка

Основание перпендикуляра, опущенного из точки B на AM, — центр окружности, описанной около треугольника ABC.

Решение

Пусть точка O — основание перпендикуляра, опущенного из точки B на AM. Тогда

OM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BM = MC, $\displaystyle \angle$ MOC = $\displaystyle \angle$ OCM = 30^o, $\displaystyle \angle$ BOC = 120^o.

Следовательно, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Поэтому

$\displaystyle \angle$ ACB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ AOB = 45^o.

Ответ

75^o; 45^o.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	501