ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53081
Темы:    [ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В окружность вписана трапеция ABCD (AD — большее основание). Из вершины C проведён перпендикуляр к AD, пересекающий окружность в точке E. Отношение длины дуги BC (не содержащей точки D) к длине дуги CDE равно 1 : 2. Радиус окружности равен высоте трапеции. Найдите отношение AD : BC.


Подсказка

Сумма градусных мер двух указанных дуг равна 180o.


Решение

Поскольку $ \angle$BCE = 90o, то BE — диаметр окружности. Поэтому сумма градусных мер указанных дуг равна 180o,

$\displaystyle \cup$ BC = 60o$\displaystyle \cup$ CDE = 120o$\displaystyle \angle$BEC = 30o$\displaystyle \angle$CBE = 60o.

Пусть R — радиус окружности, O — её центр, BK = CF = R — высоты трапеции. Тогда

BC = BE sin 30o = RCE = 2R sin 60o = R$\displaystyle \sqrt{3}$.

Если M и N — середины хорд AD и CE, то

OM = NF = CF - CN = R - $\displaystyle {\frac{R\sqrt{3}}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{R( 2 - \sqrt{3})}{2}}$.

Тогда

AD = 2AM = 2$\displaystyle \sqrt{OA^{2} - OM^{2}}$ =

= 2$\displaystyle \sqrt{R^{2} - R^{2}\frac{(2-\sqrt{3})^{2}}{4}}$ = R$\displaystyle \sqrt{4\sqrt{3} -3}$.

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{AD}{BC}}$ = $\displaystyle \sqrt{4\sqrt{3} -3}$.


Ответ

$ \sqrt{4\sqrt{3} - 3}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 750

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .