Задача 53211

Темы:    [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC на стороне BC взята точка P, а на стороне AC – точка M. Отрезки AP и BM пересекаются в точке O. Известно, что треугольники BOP, AOM и BOA подобны,  BM = 1,  cos∠B = 0,6.  Найдите площадь треугольника ABC.

Подсказка

Докажите, что треугольник ABC — прямоугольный.

Решение

  Из подобия треугольников BOP, AOM и BOA следует равенство углов BOP и BOA, а так как это смежные углы, то  ∠BOP = ∠BOA = 90°.
  Кроме того,  ∠PBO = ∠ABO,  то есть BM – биссектриса угла B. Из равенства углов MAO и ABO следует, что  ∠A = 90°.
  Пусть  ∠B = 2β.  Тогда  ∠ABM = β,  AB = BM cos β = cos β,  AC = AB tg 2β = cos β tg 2β,  S_ABC = ½ AB·AC = ½ cos²β tg 2β = ¼ (1 + cos 2β) tg 2β = ¼·⁸/₅·⁴/₃ = ⁸/₁₅.

Ответ

⁸/₁₅.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	906