Задача 53345

Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Внутри квадрата ABCD взята точка P так, что  ∠PBA = ∠PAB = 15°. Докажите, что CPD – равносторонний треугольник.

Подсказка

Постройте на стороне AD квадрата внутренним образом треугольник AQD, равный треугольнику APB.

Решение

  Построим на стороне AD квадрата внутренним образом треугольник AQD, равный треугольнику APB. Тогда  ∠PAQ = 90° – 15° – 15° = 60°  и  AP = AQ.  Поэтому треугольник APQ – равносторонний.
  Поскольку  ∠PQD = 360° – 60° – 150° = 150°,  то треугольники PQD и AQD равны (по двум сторонам и углу между ними).
  Следовательно,  PD = DA = CD.  Аналогично,  CP = CD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1041