Задача 53505

Темы:    [ Средняя линия треугольника ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что середины двух противоположных сторон любого четырёхугольника и середины его диагоналей являются вершинами параллелограмма.

Подсказка

Примените свойство средней линии треугольника.

Решение

Пусть L и K — середины сторон AD и BC четырёхугольника ABCD, M и N — середины его диагоналей AC и BD. Тогда LM — средняя линия треугольника CAD, а NK — средняя линия треугольника CBD. Поэтому LM = CD = KN и LMCDKN. Значит, противоположные стороны ML и KN четырёхугольника MLNK равны и параллельны. Следовательно, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1234