|
|
 |
Условие
Около окружности описана равнобедренная трапеция. Боковая сторона трапеции равна a, отрезок, соединяющий точки касания боковых сторон с окружностью, равен b. Найдите диаметр окружности.
Подсказка
Треугольник, вершины которого – центр окружности, точка касания с боковой стороной трапеции и середина этой стороны, подобен треугольнику, вершины которого – центр окружности, точка касания с боковой стороной трапеции и середина отрезка с концами в указанных точках касания.
Решение
Пусть вписанная окружность касается боковой стороны AB
трапеции ABCD в точке M, а боковой стороны CD – в точке N. Центр O этой окружности расположен на средней линии PQ трапеции (Q – середина CD), а проекция K точки O на MN – середина MN.
По свойству описанного четырёхугольника PQ = ½ (AD + BC) = ½ (AB + CD) = a. Значит, OQ = a/2.
Из подобия треугольников OKN и QNO следует, что
KN : ON = ON : OQ, откуда ON² = OQ·KN = ab/4.
Поскольку ON – радиус вписанной окружности, а высота трапеции равна диаметру, то эта высота равна 2ON.
Ответ
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 1341 |
