Задача 53791

Темы:    [ Признаки подобия ] [ Подобные треугольники (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Внутри прямого угла дана точка M, расстояния которой от сторон угла равны 4 и 8. Прямая, проходящая через точку M, отсекает от прямого угла треугольник с площадью 100. Найдите катеты треугольника.

Решение

  Обозначим через x и y искомые катеты. Тогда  xy = 200.  Кроме того, из подобия прямоугольных треугольников следует, что  ⁸/_y–4 = ^x/_y.  Отсюда  x =  ^8y/_y–4.
  Подставив x в первое уравнение, получим  ^8y²/_y–4 = 200,  y² = 25y – 100,  y² – 25y + 100 = 0.
  Следовательно,  y₁ = 20,  x₁ = 10  или  y² = 5,  x₂ = 40.

Ответ

20, 10 или 5, 40.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1555