Информация о задаче

Задача 54004

Темы:	[	Построения	]
	[	Углы между биссектрисами	]
	[	Метод ГМТ	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по стороне и проведённой к ней высоте, если известно, что эта сторона видна из центра вписанной в треугольник окружности под углом 135^o.

Подсказка

Если O — точка пересечения биссектрис треугольника ABC и $\angle$ AOB = 135^o, то $\angle$ ACB = 90^o.

Решение

Предположим, что искомый треугольник ABC построен. Пусть AB — данная сторона, CH — данная высота, O — центр вписанной окружности, $\angle$ AOB = 135^o.

Поскольку $\angle$ AOB = 90^o + ${\frac{1}{2}}$ $\angle$ ACB, то

$\displaystyle \angle$ ACB = 2 $\displaystyle \angle$ AOB - 180^o = 270^o - 180^o = 90^o.

Значит, треугольник ABC прямоугольный.

Поскольку отрезок AB виден из точки C под прямым углом, то точка C лежит на окружности с диаметром AB на расстоянии, равном CH, от прямой AB.

Отсюда вытекает следующее построение. На отрезке AB, равном данной стороне, строим как на диаметре окружность. Проводим прямую l, параллельную AB, удалённую от прямой AB на расстояние, равной данной высоте. Если прямая l пересекает построенную окружность, то каждая точка пересечения — вершина C искомого треугольника.

Если данная высота больше половины данной стороны, задача не имеет решений.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1768