Задача 54008

Темы:    [ ГМТ с ненулевой площадью ] [ Диаметр, основные свойства ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Найдите геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден: а) под острым углом; б) под тупым углом.

Подсказка

Воспользуйтесь замечательным свойством окружности и теоремой о внешнем угле треугольника.

Решение

Пусть точка M лежит вне окружности с диаметром AB, но не лежит на прямой AB. Хотя бы одна из прямых AM и BM пересекает окружность в двух точках, т.к. в противном случае обе они были бы перпендикулярными к диаметру AB и не могли бы пересекаться. Предположим, что прямая BM пересекает окружность в точке C, отличной от B. Тогда угол AMB острый, как угол прямоугольного треугольника AMC с прямым углом при вершине C.

Пусть точка M лежит внутри окружности с диаметром AB, но не лежит на отрезке AB. Тогда прямая BM пересекает окружность в некоторой точке C, отличной от A и B. Тогда угол AMB — внешний угол прямоугольного треугольника ACM с прямым углом при вершине C. Значит,

AMB > ACM = 90^o.

Пусть теперь угол AMB острый. Докажем, что точка M лежит вне окружности с диаметром AB. Предположим, что это не так. Тогда точка M лежит либо на окружности, либо внутри неё. В первом случае AMB = 90^o, во втором — AMB > 90^o. Что противоречит условию.

Аналогично докажем, что если угол AMB тупой, то точка M лежит внутри окружности с диаметром AB.

Ответ

а) Внешность круга, построенного на данном отрезке как на диаметре, без точек прямой, проходящей через данные точки.

б) Внутренность круга, построенного на данном отрезке как на диаметре, без точек данного отрезка.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1772