Задача 54022

Темы:    [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Прямоугольные треугольники (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит прямой угол на два неравных угла.
Докажите, что катет, прилежащий к меньшему из них, меньше другого катета.

Подсказка

Если CD – высота прямоугольного треугольника ABC, проведённая к гипотенузе AB, то  ∠ACD = ∠B  и  ∠BCD = ∠A.

Решение

  Если CD – высота прямоугольного треугольника ABC, проведённая к гипотенузе AB, то  ∠ACD = ∠B,  ∠BCD = ∠A.
  Пусть  ∠ACD > ∠BCD.  Тогда  ∠B > ∠A,  а так как против большего угла треугольника ABC лежит большая сторона, то  AC > BC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1785