Задача 54045

Темы:    [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На боковых сторонах AB и AC равнобедренного треугольника ABC расположены точки N и M соответственно, причём  AN = NM = MB = BC.
Найдите углы треугольника ABC.

Подсказка

Примените теорему о внешнем угле треугольника.

Решение

  Обозначим  ∠A = α.  Из равнобедренного треугольника ANM находим, что  ∠AMN = ∠BAC = α.  Поскольку BNM – внешний угол треугольника ANM, то
∠BNM = 2α.  Значит,  ∠MBN = ∠BNM = 2α,  а так как BMC – внешний угол треугольника AMB, то  ∠BMC = ∠BAC + ∠MBN = α + 2α = 3α.  Следовательно,
∠B = ∠C = ∠BMC = 3α.
  По теореме о сумме углов треугольника  3α + 3α + α = 180°,  откуда  α = ^180°/₇.

Ответ

^180°/₇, ^540°/₇, ^540°/₇.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1808