Задача 54170

Темы:    [ Средняя линия трапеции ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Точки M и N – середины боковых сторон AB и CD трапеции ABCD. Могут ли прямые BN и DM быть параллельными?

Подсказка

Предположение о том, что  BN || DM  приводит к противоречию с определением трапеции.

Решение

Предположим, что  BN || DM.  Тогда  ∠CNB = ∠NDM,  а так как по теореме о средней линии трапеции  MN || BC,  то  ∠BCN = ∠MND.  Значит, треугольники BCN и MND равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда  MN = BC,  а так как  MN = ½ (BC + AD),  то  BC = AD,  что невозможно по определению трапеции.

Ответ

Не могут.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1933