Информация о задаче

Задача 54309

Темы:	[	Ромбы. Признаки и свойства	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]
	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В ромбе ABCD точки M и N — середины сторон BC и CD соответственно. Найдите угол MAN, если $\angle$ BAD = 60^o.

Подсказка

Найдите тангенс половины угла MAN.

Решение

Пусть Q — точка пересечения диагоналей ромба, P — точка пересечения отрезка MN с диагональю AC, AB = a. Тогда MN — средняя линия равностороннего треугольника BCD,

MN = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BD = $\displaystyle {\frac{a}{2}}$ , MP = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BQ = $\displaystyle {\frac{a}{4}}$ ,

AP = AQ + QP = AQ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AQ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ ^. $\displaystyle {\frac{a\sqrt{3}}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{3a\sqrt{3}}{4}}$ ,

tg $\displaystyle \angle$ MAP = $\displaystyle {\frac{MP}{AP}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{4}}$ ^. $\displaystyle {\frac{3a\sqrt{3}}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{9}}$ ,

cos $\displaystyle \angle$ MAN = cos 2 $\displaystyle \angle$ MAP = $\displaystyle {\frac{1-{\rm tg }^{2} \angle MAP}{1+{\rm tg }^{2} \angle MAP}}$ = $\displaystyle {\frac{1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{9}\right)^{2}}{1 + \left(\frac{\sqrt{3}}{9}\right)^{2}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{13}{14}}$ .

Ответ

arccos ${\frac{13}{14}}$ = 2arctg ${\frac{\sqrt{3}}{9}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2072