Задача 54330
|
|
 |
Условие
В остроугольном треугольнике ABC проведены биссектриса AL и медиана CM. Точки K и N являются ортогональными проекциями точек L и M соответственно на сторону AC, причём AK : KC = 4 : 1, AN : NC = 3 : 7. Найдите отношение AL : CM.
Решение
Пусть BH – высота, AC = 10x. Тогда AN = 3x, NK = 5x, KC = 2x.
Поскольку MN || BH, то MN – средняя линия треугольника ABH. Поэтому NH = AN = 3x, AH = 6x, CH = 4x, HK = 2x. Поэтому LK – средняя линия треугольника BHC, то есть AL – медиана треугольника ABC.
Следовательно, трегольник ABC – равнобедренный,
AB = AC = 10x. Значит, BH² = AB² – AH² = 64x², MN = LK = ½ BH = 4x, CM² = CN² – MH² = 65x²,
AL² = AK² + LK² = 80x², AL² : CM² = 16 : 13.
Ответ
4 : .
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 2093 |
