Задача 54581

Темы:    [ Средняя линия треугольника ] [ Построение треугольников по различным элементам ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Постройте треугольник ABC по двум высотам, проведенным из вершин B и C, и медиане, проведённой из вершины A.

Подсказка

Проведите через середину стороны BC перпендикуляры к прямым AB и AC.

Решение

Пусть BB₁ = h₁ и CC₁ = h₂ - высоты треугольника ABC, AM = m - медиана. Предположим, что треугольник ABC построен. Опустим перпендикуляры MP и MQ на прямые AB и AC. Тогда MP и MQ - средние линии треугольников BC₁C и BB₁C. Поэтому

MP = CC₁ = h₂, MQ = BB₁ = h₁.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Построим прямоугольные треугольники APM и AQM (по катету и гипотенузе m) так, чтобы точки P и Q лежали по разные стороны от прямой AM. Через точку M проведём прямую, отрезок которой, заключённый внутри угла PAQ, делился бы точкой M пополам.

Для этого отложим на продолжении отрезка AM за точку M отрезок MA₁, равный MA, и через точку A₁ проведём прямую, параллельную AP. Пусть эта прямая пересекает луч AQ в точке B, а прямая BM пересекает луч AP в точке C. Поскольку треугольники BMA₁ и CMA равны (по стороне и двум прилежащим к ней углам), то BM = CM, т.е. AM — медиана треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2476