Задача 54612

Темы:    [ Подобные треугольники и гомотетия (построения) ] [ Метод ГМТ ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

С помощью циркуля и линейки впишите в данный треугольник прямоугольник, имеющий заданную диагональ.

Подсказка

Замените данный треугольник ABC на прямоугольный треугольник AB₁C (C = 90^o).

Решение

Предположим, что в данный треугольник ABC вписан прямоугольник KLMN с диагональю LN, равной заданному отрезку a. Пусть вершины K и N находятся на стороне AC, а вершины L и M — на сторонах AB и BC соответственно.

Через вершину B проведём прямую, параллельную AC, до пересечения в точке B₁ с перпендикуляром к основанию AC, проходящим через вершину C. Пусть прямая LM пересекает гипотенузу AB₁ и катет B₁C прямоугольного треугольника AB₁C в точках P и Q соответственно. Если F — проекция точки P на AC, то прямоугольник PQCF равен прямоугольнику LMNK, т.к.

= = = , PF = LK.

Следовательно, диагонали этих прямоугольников соответственно равны.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим прямоугольный треугольник ACB₁ (ACB₁ = 90^o) с катетом B₁C, равным высоте BD данного треугольника ABC. С центром в точке C и радиусом a, равным данной диагонали, проводим окружность. Через точку пересечения этой окружности с гипотенузой AB₁ проводим прямую, параллельную AC. Точки пересечения этой прямой со сторонами AB и BC есть вершины искомого прямоугольника.

В зависимости от того, будет ли высота треугольника AB₁C, опущенная из C, меньше, равна или больше данного отрезка, задача будет иметь два решения, одно или ни одного.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2507