Задача 54689

Тема:    [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Точка M лежит внутри окружности радиуса R и удалена от центра на расстояние d. Докажите, что для любой хорды AB этой окружности, проходящей через точку M, произведение AM ^. BM одно и то же. Чему оно равно?

Решение

Пусть O — центр окружности, R — радиус, PQ — диаметр, проходящий через точку M (M между O и P). По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд для любой хорды AB, проходящей через точку M,

AM ^. BM = PM ^. QM = (OP - OM)(OQ + OM) = (R - d )(R + d )= R² - d².

Проведите диаметр через точку M и примените теорему о произведениях отрезков пересекающихся хорд.

Пусть O — центр окружности, R — радиус, PQ — диаметр, проходящий через точку M (M между O и P). По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд для любой хорды AB, проходящей через точку M,

AM ^. BM = PM ^. QM = (OP - OM)(OQ + OM) = (R - d )(R + d )= R² - d².

Проведите диаметр через точку M и примените теорему о произведениях отрезков пересекающихся хорд.

Пусть O — центр окружности, R — радиус, PQ — диаметр, проходящий через точку M (M между O и P). По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд для любой хорды AB, проходящей через точку M,

AM ^. BM = PM ^. QM = (OP - OM)(OQ + OM) = (R - d )(R + d )= R² - d².

Проведите диаметр через точку M и примените теорему о произведениях отрезков пересекающихся хорд.

Ответ

R² - d².

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2635