ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54706
Темы:    [ Удвоение медианы ]
[ Теорема о сумме квадратов диагоналей ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике две стороны равны 11 и 23, а медиана, проведённая к третьей, равна 10. Найдите третью сторону.


Также доступны документы в формате TeX

Подсказка

Воспользуйтесь теоремой о сумме квадратов диагоналей параллелограмма или формулой для медианы треугольника.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

Первый способ.

Пусть CM — медиана треугольника ABC, в котором AC = 11, BC = 23, CM = 10. Тогда

CM2 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$(2AC2 + 2BC2 - AB2), или 100 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$(2 . 121 + 2 . 529 - AB2).

Отсюда находим, что AB2 = 900.

Второй способ.

Пусть CM — медиана треугольника ABC, в котором AC = 11, BC = 23, CM = 10. На продолжении медианы CM за точку M отложим отрезок MD, равный CM. Тогда ACBD — параллелограмм, CD = 20, DB = 11. Найдём cos$ \angle$CDB из треугольника CDB, а затем — отрезок AM. из треугольника ACM ( $ \angle$ACM = $ \angle$CDB).


Также доступны документы в формате TeX

Ответ

30.


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2652

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .