Информация о задаче

Задача 54958

Темы:	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC боковые стороны BC и AC в два раза больше основания AB. Биссектрисы углов при основании пересекаются в точке M. Какую часть треугольника ABC составляет площадь треугольника AMB?

Подсказка

Биссектриса делит основание треугольника на отрезки, пропорциональные боковым сторонам.

Решение

Пусть AA₁ и BB₁ — биссектрисы углов при основании AB треугольника ABC. Поскольку

$\displaystyle {\frac{BA_{1}}{A_{1}C}}$ = $\displaystyle {\frac{AB}{AC}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ , BA₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ BC,

то

S_ABA₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ S_ABC.

Поскольку BM — биссектриса треугольника BAA₁, то

$\displaystyle {\frac{A_{1}M}{AM}}$ = $\displaystyle {\frac{BA_{1}}{AB}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ , AM = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$ AA₁.

Следовательно,

S_AMB = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$ S_ABA₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{5}}$ S_ABC.

Ответ

${\frac{1}{5}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3014