ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55267
Темы:    [ Удвоение медианы ]
[ Теорема о сумме квадратов диагоналей ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Стороны треугольника равны a, b, c. Докажите, что медиана, проведённая к стороне c, равна $ {\frac{1}{2}}$$ \sqrt{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}$.


Также доступны документы в формате TeX

Подсказка

Достройте данный треугольник до параллелограмма.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

Пусть AB = c, BC = a, AC = b — стороны треугольника ABC; CM = m — медиана треугольника.

На продолжении медианы CM за точку M отложим отрезок MD, равный CM. Тогда ACBD — параллелограмм. Поэтому

CD2 + AB2 = 2(AC2 + BC2), или 4m2 + c2 = 2(a2 + b2).

Отсюда находим, что

m2 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$(2a2 + 2b2 - c2).


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4014

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .