Информация о задаче

Задача 55546

Темы:	[	Вспомогательная окружность	]
Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60^o, AM и CN — его высоты, а Q — середина стороны AC. Докажите, что треугольник MNQ — равносторонний.

Подсказка

Точки M и N лежат на окружности с диаметром AC.

Решение

Поскольку отрезок AC виден из точек M и N под прямым углом, эти точки лежат на окружности с диаметром AC; Q — центр этой окружности. Поэтому QN = QM. Далее имеем:

$\displaystyle \angle$ MQN = $\displaystyle \cup$ MN = 2 $\displaystyle \angle$ MAN = 2 $\displaystyle \angle$ MAB = 2(90^o - $\displaystyle \angle$ B) = 2^.30^o = 60^o.

Следовательно, треугольник MQN — равносторонний.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4869