ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55546
Темы:    [ Вспомогательная окружность ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60o, AM и CN — его высоты, а Q — середина стороны AC. Докажите, что треугольник MNQ — равносторонний.


Подсказка

Точки M и N лежат на окружности с диаметром AC.


Решение

Поскольку отрезок AC виден из точек M и N под прямым углом, эти точки лежат на окружности с диаметром AC; Q — центр этой окружности. Поэтому QN = QM. Далее имеем:

$\displaystyle \angle$MQN = $\displaystyle \cup$ MN = 2$\displaystyle \angle$MAN = 2$\displaystyle \angle$MAB = 2(90o - $\displaystyle \angle$B) = 2 . 30o = 60o.

Следовательно, треугольник MQN — равносторонний.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4869

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .