Задача 55740

Тема:    [ Неопределено ]

Сложность: 0 Классы: 8,9

Условие

Внутри выпуклого четырёхугольника ABCD взята такая точка P , что PBA = PCD = 90^o . Точка M — середина стороны AD , причём BM=CM . Докажите, что PAB= PDC .

Решение

Пусть K и L — середины отрезков AP и DP соответственно. Тогда четырёхугольник KPLM — параллелограмм, а т.к. BK и CL — медианы прямоугольных треугольников ABP и DCP , проведённые из вершин прямых углов, то

BK = AP=KP=ML, CL=DP=LP=KM,
значит, треугольники BKM и MLC равны по трём сторонам. Тогда BKM = MLC , или BKP + PKM= CLP + MLP , а т.к. PKM = MLP (как противоположные углы параллелограмма), то BKP = CLP . Следовательно,
PAB = KAB = BKP = CLP = PDC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6024