ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64863
Темы:    [ Многогранники и многоугольники (прочее) ]
[ Выпуклые тела ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Комбинаторная геометрия (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Верно ли, что существуют выпуклые многогранники с любым количеством диагоналей? (Диагональю называется отрезок, соединяющий две вершины многогранника и не лежащий на его поверхности.)


Решение

  Построим выпуклый многогранник с n диагоналями. При  n = 0  годится любая пирамида.

  Пусть  n > 0.  Возьмём (n+2)-угольную пирамиду SA1...An+2. Построим вне неё на грани SAn+1An+2 как на основании пирамиду TSAn+1An+2 (так, чтобы все  n + 4  построенных вершины находились в выпуклом положении). Объединение этих двух пирамид – выпуклый многогранник TSA1...An+2, диагоналями которого являются отрезки TA1, ..., TAn и только они.


Ответ

Верно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2014
класс
Класс 10
задача
Номер 10.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .