ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65138
Темы:    [ Наглядная геометрия в пространстве ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 6,7
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Есть 16 кубиков, каждая грань которых покрашена в белый, чёрный или красный цвет (различные кубики могут быть покрашены по-разному). Посмотрев на их раскраску, барон Мюнхгаузен сказал, что может так поставить их на стол, что будет виден только белый цвет, может поставить так, что будет виден только чёрный, а может и так, что будет виден только красный. Могут ли его слова быть правдой?


Решение

  Выстроим кубики в виде параллелепипеда размером 4×2×2 (см. рис.). Заметим, что у четырёх верхних угловых кубиков видно по три грани, сходящихся в одной вершине, у четырёх нижних не угловых кубиков видно по одной грани, а у восьми оставшихся кубиков видно по две соседние грани.

  Таким образом, кубики могут быть покрашены так: у четырёх кубиков – 3 белые грани c общей вершиной, 2 чёрные с общим ребром и одна красная; еще у четырёх кубиков – 3 чёрные грани с общей вершиной, 2 красные с общим ребром и одна белая; у следующих четырёх – 3 красные с общей вершиной, 2 белые с общим ребром и одна чёрная грань, а у оставшихся четырёх кубиков – по две грани каждого цвета с общим ребром. В этом случае для каждого цвета найдутся четыре кубика с тремя гранями, восемь кубиков с двумя гранями и четыре кубика с одной гранью этого цвета. Следовательно, их можно будет поставить на соответствующие места параллелепипеда, и слова Мюнхгаузена будут правдой.


Ответ

Могут.

Замечания

1. Так как у 16 кубиков всего 96 граней, то для решения задачи требуется найти такую расстановку кубиков на столе, в которой видно не более чем 32 грани.

2. Кубики можно было поставить на столе и в один слой в виде квадрата 4×4.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада для 6-7 классов
год/номер
Номер 13 (2015 год)
Дата 2015-03-9
класс
Класс 6 класс
задача
Номер 6.8

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .