ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65360
Темы:    [ Трапеции (прочее) ]
[ Признаки равенства прямоугольных треугольников ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть ABCD – трапеция, в которой углы A и B прямые,  AB = AD,  CD = BC + AD,  BC < AD.
Докажите, что угол ADC в два раза больше угла ABE, где E – середина AD.


Решение 1

Пусть K – такая точка на стороне CD, что  CK = CB,  M – точка пересечения AB с перпендикуляром, восставленным из точки K к прямой CD. Тогда прямоугольные треугольники BCM и KCM равны по катету и гипотенузе, то есть  BM = MK,  а CM – биссектриса угла C. Кроме того, из условия следует, что  KD = AD,  откуда аналогично  AM = MK,  а DM – биссектриса угла D. Поэтому  AM = ½ AB = AE,  и, значит, равны треугольники ABE и ADM. Следовательно,  ∠ADC = 2∠ADM = 2∠ABE  (см. рис.).


Решение 2

Отложим на продолжении DA за точку A отрезок  AF = BC,  тогда  DF = DC.  Пусть M – точка пересечения AB и CF, то есть середина AB. Прямоугольные треугольники ABE и ADM равны, DM – медиана равнобедренного треугольника CDF, поэтому она – биссектриса угла CDA, то есть
½ ∠CDA = ∠ABE.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2015
класс
Класс 8
задача
Номер 8.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .