ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65509
Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Внутри равностороннего треугольника ABC отмечена произвольная точка M. Докажите, что можно выбрать на стороне AB точку C1, на стороне BC – точку A1, а на стороне AC – точку B1 таким образом, чтобы длины сторон треугольника A1B1C1 были равны отрезкам MA, MB и MC.


Решение

Отметим на стороне AB точку C1, на стороне BC точку A1, а на стороне AC точку B1 таким образом, что  MC1 || BC,  MA1 || AC,  MB1 || AB  (см. рис.). Тогда отрезки MA1, MB1 и MC1 разобьют данный треугольник на три трапеции. Из параллельности следует, что каждый угол при большем основании этих трапеций равен 60°, поэтому эти трапеции равнобокие. Следовательно, в каждой трапеции диагонали равны:  B1C1 = MA,  A1C1 = MB,  A1B1 = MC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Год 2015
класс
Класс 8
задача
Номер 8.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .