ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65521
Темы:    [ Перегруппировка площадей ]
[ Площадь треугольника (через высоту и основание) ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Через точку P проведены три отрезка, параллельные сторонам треугольника ABC (см. рисунок).
Докажите, что площади треугольников A1B1C1 и A2B2C2 равны.


Решение

  Заметим, что  SA2B2C2 = SA2C2P + SB2C2P + SA2B2P,  а  SA1B1C1 = SA1C1P + SB1C1P + SA1B1P.  Докажем, что  SA2C2P = SA1C1P  (для других пар площадей равенство доказывается аналогично). Это можно доказать различными способами.

  Первый способ. Поскольку C2PA2B – трапеция, то SA2C2P = SBA2P.  Так как BC1PA2 – параллелограмм, то  SBA2P = SBC1P.  И, наконец, из того, что BC1PA1 – трапеция, получим, что  SBC1P = SA1C1P . Следовательно, SA2C2P = SA1C1P.

  Второй способ. Пусть X и Y – основания перпендикуляров, опущенных из точек A2 и C1 на отрезок A1C2. Тогда  SC2A2P = ½ C2P·A2X  и
SC1A1P = ½ PA1·C1Y.  Треугольники С2С1P и PA2A1 подобны (соответствующие стороны параллельны), поэтому  C1Y : A2X = C2P : PA1,  следовательно,   SA2C2P = SA1C1P.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Год 2015
класс
Класс 10
задача
Номер 10.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .