Условие
Внутри треугольника $ABC$ взята такая точка $M$, что $AM = \frac{1}{2} AB$, а $CM = \frac{1}{2} BC$. Точки $C_0$ и $A_0$ взяты на отрезках $AB$ и $CB$ соответственно, причем $BC_0 : AC_0 = BA_0 : CA_0 = 3$. Докажите, что $M$ равноудалена от $C_0$ и $A_0$.
Решение
Пусть $K$, $L$, $U$, $V$ – середины отрезков $AB$, $BC$, $AM$, $MC$ соответственно. Так как треугольники $AKM$ и $CLM$ – равнобедренные, а $KU$, $LV$ – средние линии треугольников $ABM$, $CBM$ соответственно, то $MA_0 = LV = \frac{1}{2} BM = KU = MC_0$.
Источники и прецеденты использования
