Условие
Дан вписанный четырёхугольник $ABCD$. Произвольная окружность, проходящая через точки $C$ и $D$, пересекает прямые $AC$, $BC$ в точках $X$, $Y$ соответственно. Найдите ГМТ пересечения окружностей $CAY$ и $CBX$.
Решение
Рассмотрим композицию инверсии с центром $C$ и симметрии относительно биссектрисы угла $BCA$, меняющую точки $A$ и $B$ местами. Она также меняет местами прямую $AB$ и описанную окружность четырехугольника, т.е. $D$ перейдет в некоторую точку $D'$ на прямой $AB$, а окружность, проходящая через $C$ и $D$, – в прямую, проходящую через $D'$ и пересекающую $AC$, $BC$ в точках $Y'$, $X'$ соответственно. Окружности $CAY$ и $CBX$ перейдут в прямые $AX'$, $BY'$, точка пересечения которых лежит на прямой, проходящей через $C$ и пересекающей $AB$ в такой точке $E'$, что четверка $A$, $B$, $D'$, $E'$ гармоническая. При повторном применении инверсии и симметрии эта прямая перейдет в $CE$.
Ответ
Прямая $CE$, где $AEBD$ – гармонический четырехугольник.
Источники и прецеденты использования
