Задача 76489

Тема:    [ Разные задачи на разрезания ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

Доказать, что из 5 попарно различных по величине квадратов нельзя сложить прямоугольник.

Решение

Предположим, что из нескольких попарно различных по величине квадратов сложен прямоугольник. Рассмотрим самый маленький квадрат Q. С одной из его сторон имеет общую часть сторона некоторого большего квадрата A. Сторона квадрата A выходит за пределы стороны квадрата Q. Образовавшийся угол должен быть заполнен некоторым квадратом B, сторона которого снова больше стороны квадрата Q. Получаем ещё один угол, который должен быть заполнен квадратом C, а затем ещё один угол, который должен быть заполнен квадратом D. При этом между квадратами A и D не может быть к колодцак (т.е. квадраты A и D должны иметь общую границу), поскольку иначе для заполнения к колодцак потребовался бы квадрат, который меньше самого маленького квадрата Q. Итак, если из пяти попарно различных по величине квадратов можно сложить прямоугольник, то мы знаем, как они должны быть сложены: самый маленький квадрат находится в центре, а к нему примыкают четыре других квадрата, образуя следующую конфигурацию (или симметричную ей):

-—|
|   A   |    |
|—| D  |
|   | Q |    |
| B |—|
|   |   C    |
|—|

Пусть q, a, b, c, d — длины сторон квадратов. Тогда a = b + q, b = c + q, c = d + q, d = a + q. Сложив эти равенства, получим 5q = 0. Этого не может быть.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	7
Год	1941
вариант
Класс	7,8
Тур	2
задача
Номер	1