Условие
Через точку
A, лежащую внутри угла, проведена прямая, отсекающая от этого
угла наименьший по площади треугольник. Доказать, что отрезок этой прямой,
заключённый между сторонами угла, делится в точке
A пополам.
Решение
Пусть
PQ — отрезок, который делится точкой
A пополам,
P'Q' — другой
отрезок, проходящий через точку
A. Покажем, что отрезок
P'Q' отсекает
треугольник большей площади, чем отрезок
PQ. Пусть для определённости
P'A
Q'A. Отложим на отрезке
AP' отрезок
AP'' =
AQ'. Треугольники
APP''
и
AQQ' равны, а треугольник
APP' содержит треугольник
APP''. Значит,
площадь треугольника
APP' больше площади треугольника
AQQ'. Разность между
площадями треугольников, отсекаемых отрезками
P'Q' и
PQ, равна разности
площадей треугольников
APP' и
AQQ'.
Источники и прецеденты использования
