Задача 78284

Темы:    [ Наибольшая или наименьшая длина ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Даны два пересекающихся луча AС и BD. На этих лучах выбираются точки M и N (соответственно) так, что AM = BN. Найти положение точек M и N, при котором длина отрезка MN минимальна.

Решение

Проведём через точку M прямую, параллельную BN, и возьмём на ней такую точку Р, что BP || MN. Так как BPMN — параллелограмм, и MA, по условию, равно BN, то мы получаем: AM = MP, т. е. треугольник AMP — равнобедренный. Обозначим через угол между данными лучами (и, значит, между прямыми AM и MP). В таком случае

MAP = .

Мы видим, что MAP не зависит от положения точки M на луче AO. Это значит, что точка P всегда лежит на некоторой вполне определённой прямой (составляющей угол = с данным лучом AO). Заметим теперь, что PB = MN, а мы ищем такое положение точки M, что отрезок MN минимален. Это, очевидно, произойдёт в том случае, когда PB AP, что и определяет выбор точки Р, а следовательно, и точки M.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	25
Год	1962
вариант
	1
Класс	10
Тур	1
задача
Номер	1