Задача 78581

Темы:    [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Десятичная система счисления ] [ Периодичность и непериодичность ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Докажите, что последние цифры чисел nⁿ (n – натуральное) образуют периодическую последовательность.

Решение

Достаточно проверить, что последние цифры чисел  A = nⁿ   и  B = (n + 20)ⁿ⁺²⁰  совпадают. Согласно задаче 30374  n⁵ ≡ n (mod 10).  Следовательно,
n^k+4 ≡ n^k (mod 10)  и  (n + 20)ⁿ⁺²⁰ ≡ nⁿ⁺²⁰ ≡ nⁿ (mod 10).

Замечания

Периодически повторяется набор цифр  1, 4, 7, 6, 5, 6, 3, 6, 9, 0, 1, 6, 3, 6, 5, 6, 7, 4, 9, 0.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	28
Год	1965
вариант
	1
Класс	11
Тур	2
задача
Номер	2