Задача 78657
|
|
 |
Условие
Выбрать 100 чисел, удовлетворяющих условиям x1 = 1, 0 ≤ x1 ≤ 2x1, 0 ≤ x3 ≤ 2x2, ..., 0 ≤ x99 ≤ 2x98, 0 ≤ x100 ≤ 2x99, так, чтобы выражение
x1 – x2 + x3 – x4 + ... + x99 – x100 было максимально.
Решение
Запишем рассматриваемую сумму в виде S = x1 + (x3 – x2) + ... + (x99 – x98) – x100. Неравенство xk+1 ≤ 2xk показывает, что xk+1 – xk ≤ xk. Поэтому
S ≤ x1 + x2 + x4 + ... + x98, причём равенство достигается лишь в том случае, когда x3 = 2x2, x5 = 2x4, ..., x99 = 2x98 и x100 = 0. Наконец, выражение
x1 + x2 + x4 + ... + x98 максимально в случае, когда x2 = 2x1, x4 = 2x3, ..., x98 = 2x97.
Ответ
x2 = 2, x3 = 4, x4 = 8, ..., x99 = 298, x100 = 0.
