Условие
Имеется 1000 монет, среди них 0, 1 или 2 фальшивые. Известно, что фальшивые
монеты имеют одинаковую массу, отличную от массы нефальшивых монет. Можно ли
за три взвешивания на чашечных весах без гирь определить, есть ли фальшивые
монеты и легче они или тяжелее нормальных? (Количество монет определять не
надо.)
Решение
Ответ: можно.
Приведём пример взвешиваний, позволяющих ответить на вопрос задачи.
Первое взвешивание. Разделим все монеты на кучки
A и
B по 500 монет
в каждой и взвесим их на чашечных весах. Тогда возможны два случая.
Если
A >
B (этот случай полностью эквивалентен случаю
A <
B, поэтому
рассмотрим только один из них), то фальшивых монет либо 1, либо 2. В таком
случае разделим каждую кучку на две равные части по 250 монет в каждой
(
A =
A1 +
A2,
B =
B1 +
B2). Во втором взвешивании на одну чашку весов положим
A1 и
B1, а на вторую
A2 и
B2. Опять же возможно два случая,
поскольку случай
A1 +
B1 >
A2 +
B2 симметричен случаю
A1 +
B1 <
A2 +
B2.
Если
A1 +
B1 >
A2 +
B2, то если фальшивая монета или фальшивые монеты тяжелее,
то она или они из
A1, если легче, то из
B2, а в
A2 и
B1 —
настоящие монеты. Теперь последним взвешиванием, сравнив
B1 и
B2,
выясним, есть ли в
B2 фальшивые монеты. Если есть, то они легче настоящих,
если нет, то фальшивые в
A1, причём они тяжелее настоящих.
Если
A1 +
B1 =
A2 +
B2, тогда получаем, что фальшивых монет две, причём либо
по одной в
A1 и
A2 и они тяжелее настоящих, либо по одной в
B1 и
B2
и они легче настоящих. Оставшимся взвешиванием, разделив
A1 с одной фальшивой
монетой либо без нее на две части по 125 монет и сравнив, получим, если равенство,
то монеты в
A1 настоящие, а фальшивые в
B и они легче настоящих, иначе
фальшивые в
A и они тяжелее настоящих.
Если
A =
B, тогда фальшивых монет либо вообще нет, либо 2, причём если они
есть, то по одной в
A и
B. Разделив
A и
B как и в предыдущем
случае, сравним
A1 с
A2. В случае равенства получаем, что фальшивых
монет нет.
Если же
A1 <
A2, тогда разделим
A1 на две равные части по 125 монет в каждой и
сравним их. Если они окажутся равными, то монеты в них настоящие, а значит,
фальшивая в
A2 и тяжелее настоящих. Если же они не равны, то фальшивая в
A1 и легче настоящих.
Источники и прецеденты использования
