Задача 78812

Темы:    [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC проведены медианы AD и BE. Углы CAD и CBE равны 30^o. Доказать, что треугольник ABC правильный.

Решение

Так как EAD = EBD = 30^o, точки A, E, D и B лежат на одной окружности S, причём если O — её центр, то EOD = 60^o. Точка C симметрична A относительно точки E, поэтому она лежит на окружности S₁, симметричной окружности S относительно точки E. Аналогично точка C лежит на окружности S₂, симметричной окружности S относительно точки D. Так как треугольник EOD правильный, центры окружностей S, S₁ и S₂ образуют правильный треугольник со стороной 2R, где R — радиус этих окружностей. Поэтому окружности S₁ и S₂ имеют единственную общую точку C, причём треугольник CED правильный. Следовательно, треугольник ABC тоже правильный.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	35
Год	1972
вариант
Класс	8
Тур	1
задача
Номер	5