ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79271
Тема:    [ Неравенство треугольника ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Из отрезков, имеющих длины a, b и c, можно составить треугольник. Доказать, что из отрезков с длинами $ {\frac{1}{a+c}}$, $ {\frac{1}{b+c}}$, $ {\frac{1}{a+b}}$ также можно составить треугольник.

Решение

По условию числа а, b, с удовлетворяют неравенствам a + b > с, b + c > a, c + a > b. Очевидно, $ {\frac{1}{a+c}}$ > $ {\frac{1}{(a+b)+(a+b)}}$, $ {\frac{1}{b+c}}$ > $ {\frac{1}{(a+b)+(a+b)}}$, отсюда следует, что $ {\frac{1}{a+c}}$ + $ {\frac{1}{b+c}}$ > $ {\frac{1}{a+b}}$. Аналогично доказываются остальные два неравенства треугольника.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 37
Год 1974
вариант
Класс 10
Тур 1
задача
Номер 1
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 37
Год 1974
вариант
Класс 9
Тур 1
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .