ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 86961
Темы:    [ Объем тетраэдра и пирамиды ]
[ Многогранники и многоугольники (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что из боковых граней четырёхугольной пирамиды, основанием которой служит параллелограмм, можно составить треугольную пирамиду, причём её объём вдвое меньше объёма исходной четырёхугольной пирамиды.

Решение

Пусть PABCD – четырёхугольная пирамида, основание которой – параллелограмм ABCD . Через вершину P проведём прямую, параллельную AD , и отложим на ней отрезок PQ , равный AD . Рассмотрим треугольную пирамиду QPCD . Поскольку APQD и BPQC – параллелограммы, треугольник CPQ равен треугольнику PCB , треугольник DPQ равен треугольнику PDA , а треугольник DQC – треугольнику APB . Значит, QPCD – искомая треугольная пирамида. У треугольных пирамид QPCD и BCDP с общим основанием CDP равны высоты, проведённые из вершин Q и B соответственно, поэтому пирамиды QPCD и BCDP равновелики, а т.к. объём пирамиды BCDP вдвое меньше объёма данной пирамиды PABCD , то объём пирамиды QPCD равен половине объёма данной пирамиды.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7152

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .