Задача 87035

Темы:    [ Сечения, развертки и остовы (прочее) ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На рёбрах BC и DC треугольной пирамиды ABCD взяты соответственно точки N и K , причём CN = 2BN , DK:KC = 3:2 . Известно, что M – точка пересечения медиан треугольника ABD . В каком отношении плоскость, проходящая через точки M , N , K , делит объём пирамиды ABCD ?

Решение

Обозначим BD = a . Рассмотрим плоскость грани BCD (рис.2). Через точку C проведём прямую l , параллельную BD . Пусть продолжение отрезка KN пересекает прямую l в точке T , а прямую BD – в точке E . Обозначим BE = x . Из подобия треугольников TKC и EKD находим, что

CT = DE· = (a+x).
Из подобия треугольников TNC и ENB следует, что
CT = BE· = 2x.
Из уравнения (a + x) = 2x находим, что
BE = x = a, DE = DB + BE = a + a = a.
Рассмотрим плоскость грани ABD (рис.3). Через точку A проведём прямую m , параллельную BD . Пусть прямая EM пересекает прямую m в точке G , ребро AB – в точке Q , ребро AD – в точке F , а продолжение медианы DP треугольника ABD пересекает прямую m в точке H . Из равенства треугольников BPD и APH находим, что AH = DB = a , а т.к. M – точка пересечения медиан треугольника ABD , то
= = = .
Из подобия треугольников GMH и EMD следует, что
GH = DE· = 2· a = 3a,
поэтому AG = GH - AH = 3a - a = 2a . Из подобия треугольников AFG и DFE следует, что
= = = ,
а из подобия треугольников BQE и AQG –
= = = .
Плоскость ADN (рис.1) делит объём V данной пирамиды в отношении 1:2 , поэтому V_DABN = V и V_DACN = V . Секущая плоскость пересекает боковые рёбра AD , AB и AN треугольной пирамиды DABN в точках F , Q и N , поэтому
V_AFQN = · · · V_DABN = · · · V = V.
Тогда объём многогранника DBNQF равен V - V = V . Секущая плоскость пересекает боковые рёбра DA , DC и DN треугольной пирамиды DACN в точках F , K и N , поэтому
V_DFKN = · · · V_DACN = · · · V = V.
Значит, объём многогранника DFQNK равен
V + V = V.
Тогда объём остальной части пирамиды ABCD равен
V - V = .
Следовательно, искомое отношение равно .

Ответ

37:68 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7247