ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87423
Тема:    [ Перпендикуляр и наклонная ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие


Основанием прямого параллелепипеда служит параллелограмм с углом 120o и сторонами, равными 3 и 4. Меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали основания. Найдите объем параллелепипеда.


Решение


Пусть d1 и d2 - соответственно большая и меньшая диагонали параллелограмма со сторонами, равными 3 и 4, и углом 120o между ними. Тогда

d1 = $\displaystyle \sqrt{9 + 16 - 2\cdot 3\cdot 4\cdot \cos 120^{\circ }}$ = $\displaystyle \sqrt{25 + 12}$ = $\displaystyle \sqrt{37}$,

d2 = $\displaystyle \sqrt{9 + 16 - 2\cdot 3\cdot 4\cdot \cos 60^{\circ }}$ = $\displaystyle \sqrt{25 - 12}$ = $\displaystyle \sqrt{13}$.

Пусть h - высота параллелепипеда, V - его объем. По условию задачи меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали параллелограмма, т.е. $ \sqrt{37}$, а т.к. меньшая диагональ параллелограмма является ортогональной проекцией меньшей диагонали параллелепипеда на плоскость основания, то

h = $\displaystyle \sqrt{37 - 13}$ = $\displaystyle \sqrt{24}$ = 2$\displaystyle \sqrt{6}$.

Следовательно,

V = 3 . 4 . sin 120o . 2$\displaystyle \sqrt{6}$ = 6$\displaystyle \sqrt{3}$ . 2$\displaystyle \sqrt{6}$ = 36$\displaystyle \sqrt{2}$.


Ответ

36$\displaystyle \sqrt{2}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7921

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .