Задача 87437

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите объём правильной треугольной пирамиды, боковые рёбра которой, наклонены к плоскости основания под углом α и удалены от середины противоположной стороны основания на расстояние l .

Решение

Пусть M – середина стороны AB основания ABC правильной треугольной пирамиды PABC , MK – перпендикуляр, опущенный из точки M на прямую CP , O – центр основания ABC . Обозначим AB = AC = BC = a . По условию задачи MK = l , MCP = α . Из прямоугольного треугольника MKC находим, что

MC = , или = ,
откуда a = . Из прямоугольного треугольника POC находим, что
PO = OC tg OCP = · tg α.
Следовательно,
V_PABC = S_ABC· PO = · · · tg α =

= · · tg α = · ()3· tg α =.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7949