Задача 87447

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Сфера, описанная около пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

В шар вписана правильная четырёхугольная пирамида. Радиус шара равен 1. Плоский угол при вершине пирамиды равен 45^o . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение

Центр O шара равноудален от вершин основания ABCD правильной пирамиды PABCD , поэтому точка O лежит на высоте PQ пирамиды (рис.1). Обозначим

AB = BC = CD = AD = a, PA = PB = PC = PD = l.
По теореме косинусов
AB2 = PA2 + PB2 - 2PA· PB cos APB,
или
a2 = 2l2 - 2l2 cos 45^o = l2(2 - ),
откуда a = l . Тогда
AC = a = l, AQ = AC = l.
Обозначим, PAQ = α . Из прямоугольного треугольника PAQ находим, что
cos α = = · = = ,

sin α = = = .
Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью, проходящей через точки A , P и C (рис.2). Получим равнобедренный треугольник APC , вписанный в окружность с центром O радиуса R = 1 . По теореме синусов
AP = 2R sin ACP, илиl = 2 sin α = 2.
Если S – боковая поверхность данной пирамиды, то
S = 4S_{Δ APB} = 4· AP· BP sin APB =

= 2l2 sin 45^o = 2(2)2· = 4.

Ответ

4.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7959