Задача 1

Докажите, что любая диагональ четырёхугольника меньше половины его периметра.

Задача 2

Найти углы треугольника, если известно, что все вписанные в него квадраты равны (каждый из квадратов вписан так, что две его вершины лежат на одной из сторон треугольника, а остальные вершины на двух других сторонах треугольника).

Задача 3

Существует ли степень двойки, из которой перестановкой цифр можно получить другую степень двойки?

Задача 4

Коридор покрыт несколькими ковровыми дорожками (возможно, с наложениями). Докажите, что можно убрать несколько дорожек таким образом, чтобы оставшиеся дорожки покрывали коридор и сумма их длин не превышала удвоенной длины коридора.

Задача 5

Докажите, что при любых натуральных  0 < k < m < n  числа    и    не взаимно просты.