Выбрана 1 задача 
Убрать все задачи
На шахматной доске более четверти полей занято шахматными фигурами. Докажите, что занятыми оказались хотя бы две соседние (по стороне или диагонали) клетки.
Решение
|
|
 |
Условие
Даны 103 монеты одинакового внешнего вида. Известно, что две из них – фальшивые, что все настоящие одинакового веса, что фальшивые – тоже одинакового веса, отличающегося от веса настоящих монет. Но неизвестно, в какую сторону отличаются веса фальшивых монет от настоящих. Как можно это узнать с помощью трёх взвешиваний на двухчашечных весах без гирь? (Отделить фальшивые монеты не требуется.)
Решение
Пусть у нас имеется 6k + 1 монета, из которых две фальшивые. Выбросим одну монету, а остальные разделим на три кучки – A, B, C – по 2k монет в каждой. Заметим, что среди них найдутся ровно две кучки с одинаковым весом. Взвесим сначала A с B, а затем B с C. Пусть, например, A тяжелее чем B и C. Тогда в B не более одной фальшивой монеты (так как веса B и C равны). Разделим B на две равные части и взвесим их. Если веса равны, то фальшивая монета тяжелее настоящей, а иначе – легче.
Замечания
1. Задача предлагалась также на Ленинградской математической олимпиаде (1990, 8 кл., № 5).
2. 7 баллов.
