В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки E и F являются серединами сторон BC и CD соответственно. Отрезки AE, AF и EF делят четырёхугольник на четыре треугольника, площади которых равны (в каком-то порядке) последовательным натуральным числам. Каково наибольшее возможное значение площади треугольника ABD?

   Решение

Темы:    [ Дискретное распределение ] [ Средние величины ] [ Классические неравенства (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Ася и Вася вырезают прямоугольники из клетчатой бумаги. Вася ленивый; он кидает игральную кость один раз и вырезает квадрат, сторона которого равна выпавшему числу очков. Ася кидает кость дважды и вырезает прямоугольник с длиной и шириной, равными выпавшим числам. У кого математическое ожидание площади прямоугольника больше?

Решение

  Пусть A и B – независимые случайные величины, принимающие значения 1, 2, ..., 6 с равными вероятностями. Тогда математическое ожидание площади Асиного прямоугольника равно  EAB = EA·EB = (EA)²  (так как A и B независимы). Ожидание площади Васиного прямоугольника EA².
  Поскольку  0 < DA = EA² – (EA)²,  то  EA² > (EA)².
  Значит, в среднем площадь Васиного квадрата больше площади Асиного прямоугольника.

Ответ

У Васи.

Замечания

Можно было сослаться на неравенство между средним арифметическим и средним квадратичным, а также честно вычислить EA² и (EA)².

Источники и прецеденты использования