Даны три треугольника: A₁A₂A₃, B₁B₂B₃, C₁C₂C₃. Известно, что их центры тяжести (точки пересечения медиан) лежат на одной прямой, а никакие три из девяти вершин этих треугольников не лежат на одной прямой. Рассматриваются 27 треугольников вида A_iB_jC_k, где i, j, k независимо пробегают значения 1, 2, 3. Докажите, что эти 27 треугольников можно разбить на две группы так, что сумма площадей треугольников первой группы будет равна сумме площадей треугольников второй группы.

   Решение

Темы:    [ Турниры и турнирные таблицы ] [ Математическая логика (прочее) ]

Сложность: 3- Классы: 6,7

Прислать комментарий

Условие

Перед футбольным матчем команд "Север" и "Юг" было дано пять прогнозов:
  а) ничьей не будет;
  б) в ворота "Юга" забьют;
  в) "Север" выиграет;
  г) "Север" не проиграет;
  д) в матче будет забито ровно 3 гола.
После матча выяснилось, что верными оказались ровно три прогноза. С каким счётом закончился матч?

Решение

  Предположим, что "Север" выиграл. Тогда 4 прогноза ("а", "б", "в" и "г") оказались верными, что противоречит условию.
  Предположим, что матч закончился ничьей. Тогда заведомо неверны прогнозы "а", "в" и "д" (при ничьей количество забитых голов чётно). что также противоречит условию.
  Итак, этот матч "Север" проиграл. Тогда прогнозы "в" и "г" неверны, а оставшиеся 3 прогноза верны. А именно: ничьей не было, в ворота "Юга" забили, и в матче было забито ровно 3 гола. Значит, матч закончился со счётом  1 : 2.

Ответ

1 : 2.

Источники и прецеденты использования