Точки K и M лежат на сторонах AB и BC треугольника ABC, причём  AK : BK = 3 : 2,  BM : MC = 3 : 1.  Через точку B проведена прямая l, параллельная AC. Прямая KM пересекает прямую l в точке P, а прямую AC в точке N. Найдите BP и CN, если  AC = a.

   Решение

Темы:    [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Сфера, вписанная в тетраэдр ] [ Метод ГМТ в пространстве ] [ Длины и периметры (геометрические неравенства) ]

Сложность: 5+ Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

В тетраэдр ABCD , длины всех ребер которого не более 100, можно поместить две непересекающиеся сферы диаметра 1. Докажите, что в него можно поместить одну сферу диаметра 1,01.

Решение

Рассмотрим множества M центров сфер диаметра 1, лежащих в данном тетраэдре T . Так как M – множество точек, удаленных от всех граней T не менее, чем на 1/2 , то M – это тетраэдр с гранями, параллельными граням тетраэдра T , т.е. M и T гомотетичны. Центры вписанных сфер обоих тетраэдров совпадают, поэтому коэффициент k гомотетии равен , где r – радиус сферы, вписанной в T . С другой стороны, две сферы единичного диаметра не пересекаются, поэтому расстояние между их центрами не меньше 1, значит, длина одного из ребер тетраэдра M , содержащего эти центры, не меньше 1. Отсюда следует, что k (длины ребер тетраэдра T не больше 100), т.е. 1- , откуда 2r>1,01 . Итак, диаметр сферы, вписанной в T , больше 1,01, т.е. в качестве искомой можно выбрать сферу, вписанную в T .

Источники и прецеденты использования